Rekenen aan een uitrolproef

In een vorige bericht ontstond wat discussie over bij welke snelheid de luchtweerstand groter wordt dan de rolweerstand plus aandrijvingsverliezen.
Hoewel niet mijn vakgebied, wil ik toch een poging wagen er wat wetenschappelijker naar te kijken en er een meting aan te doen.

Als we met een constante snelheid te fietsen, zijn er netto geen krachten in het spel volgens de eerste wet van Newton. De aandrijfkracht (F) is dan gelijk aan de krachten die we aan de verlieskant kennen: aandrijfverliezen (F_a), rolweerstand (F_rol) en luchtweerstand (F_lucht).

F = F_a + F_rol + F_lucht

De aandrijfverliezen en de rolweerstand zijn constante krachten, luchtweerstand is evenredig met de snelheid in het kwadraat.
In formulevorm:

F_rol = c₁
F_lucht = c₂ * v²

Dit zijn erg versimpelde vergelijkingen. In de constante c₁ zitten onder andere de rol-eigenschappen van de band, de druk in de band en het gewicht dat drukt op de band. In de constante c₂ zitten onder andere luchtdichtheid en frontaal oppervlak.

Om een en ander goed te kunnen meten, moet je het geleverde vermogen kunnen meten. Dat kan met een powermeter in je fiets. Een goede maar peperdure oplossing is een SRM meter. Een budgetoplossing (minder dan 100 euro) is er gewoonweg niet. Ga ik nog wel maken, maar daarover een andere keer. Wat wel een stuk eenvoudiger kan, is een uitrolproef. We meten dan weliswaar niet de aandrijfverliezen, maar rolweerstand en luchtweerstand zijn in theorie wel af te leiden.

Stel we rijden 50 km/u en laten ons uitrollen op een vlakke weg, met windstil weer.
De krachten die op de totale massa m (fiets + berijder) werken zijn F_rol + F_lucht. We ondervinden dan een versnelling a volgens de tweede wet van Newton: F = m * a. De versnelling zal een vertraging zijn, maar dat is rekenkundig slechts een minteken. Tijdens het uitrollen kunnen we tijd en afstand (of snelheid) precies bijhouden. Versnelling is hoeveel de snelheid per seconde verandert. We kunnen nu voor een willekeurig moment tijdens het uitrollen de versnelling a bepalen. Massa m is constant, dus we weten de totale kracht F. Nu nog uitzoeken hoe het te verdelen over F_rol en F_lucht. Omdat we ook snelheid v weten, houden we alleen de twee constanten over. We moeten dus twee meetwaarden gebruiken en vinden dan beide constanten. Door meerdere meetwaarden te gebruiken, kunnen we wat meetruis wegmiddelen en kunnen we een grafiek maken van F_rol en F_lucht uitgezet tegen de snelheid. Het enige wat een goede meting in de weg staat is een nauwkeurige registratie van tijd en afgelegde weg. Een handige optie is om de pulsen te meten van de magneetsensor van de fietscomputer. Die zit standaard in praktisch alle velomobielen. We moeten dan wel precies de wielomtrek weten, maar dat is niet zo moeilijk te achterhalen. De magneetsensor is normaal gesproken een maakcontact als het spaakmagneetje bij de sensor komt. Dat kunnen we met een klein computertje eenvoudig meten. De omtrek is ca 1.5 meter. Stel we rijden 15 m/s (54 km/u), dan zijn dat 10 omwentelingen per seconde. Stel het uitrollen duurt 1000 meter, dan zijn dat 667 meetwaarden. Alleszins te behappen voor een simpele microcontroller met enkele kB aan geheugen. Tijd kunnen we heel nauwkeurig meten, de nauwkeurigheid hangt vooral af van de wielomtrek.

Maar dat bewaar ik tot een volgende keer, kost me nu iets te veel knutseltijd. Ik heb even geëxperimenteerd met het inspreken op mijn telefoon van de snelheid. Ik dacht, dan zoek ik later de tijd wel op door de opname af te spelen. Werkt niet door de enorme ruis (ik reed met kap). Pas later bedacht ik dat ik veel beter een filmpje kon maken van de snelheidsmeter. Tijd en snelheid zijn dan veel nauwkeuriger vast te leggen.

Zo gezegd, zo gedaan. Ik heb een redelijk rechte weg gevonden, dicht bij huis en op het oog ook vlak. Er stond bijna geen wind en wat er was kwam van opzij. Ik heb geprobeerd om heen en terug te rijden over dezelfde weg, maar ik moet dan het fietspad aan de andere kant van de weg nemen. Dat lag vol bladeren, eikels etc. Een andere meting mislukt omdat ik blijkbaar niet op de goede knop gedrukt had (foto ipv video...). Na een paar sprintjes begon mijn hamstring wat te protesteren zodat ik het uiteindelijk bij één redelijke meting heb gehouden. Beginsnelheid 54 km/u, DF met minivizier en Durano banden op maximale toegestane druk. Totaal gewicht ca 93 (ik) + 25 (DF) + 5 (bagage) = 123 kg. Temperatuur ca 15 graden.
Ik heb het filmpje seconde voor seconde bekeken en de snelheid genoteerd, ca 180 seconden. Dat is nog best een klus kan ik je zeggen! De gegevens zijn in Excel ingeklopt en dan komt er een grafiek uit waar wat kleine hobbels in zitten. De meest onlogische hobbels handmatig wat weggeinterpoleerd. Soms zie in je een seconde video twee tellerstanden, de een is logischer dan de ander. Hier is het gefilterde resultaat.

Aan de hand van deze grafiek is de versnelling op te maken. Die heb ik geprobeerd te bepalen door op tijdstip t te kijken wat de snelheid is op t-5 en t+5. De versnelling is dan het verschil in snelheid gedeeld door 10 seconden. De grafiek hiervan is een drama:

versnelling als functie van de snelheid

Ik heb de snelheidsgrafiek uitgeprint en ben met een liniaal raaklijnen gaan tekenen. De richtingscoëfficiënt is de versnelling. Wiskunde is voor mij wel de nodige jaren geleden, maar ik hoop dat ik dit kunstje toch redelijk goed heb gedaan. Voor 7 punten op de snelheidsgrafiek heb ik de raaklijnen zo goed mogelijk gegokt en dan krijg je de volgende figuur:

versnelling als functie van de snelheid

Met een beetje fantasie tonen beide grafieken hetzelfde plaatje.

Het probleem is echter dat de grafiek niet voldoet aan de verwachting. Ik had beredeneerd dat
F = m * a = c₁  + c₂ * v²
Dus a is een tweedegraads functie van v. Maar tweedegraads functies zijn parabolen. Ik heb toch de nodige moeite om in deze grafiek een parabool te herkennen. Wat dat betreft levert deze hele exercitie niet op wat ik gehoopt had.
Maar we kunnen nog wel wat andere interessante gegevens produceren. Het vermogen P = F * v = m * a * v.
We hebben a berekend, m en v zijn ook bekend, dus heb ik het vermogen als functie van de snelheid uitgerekend en in de grafiek gezet.

Opvallend is dat de grafiek lijkt te bestaan uit twee rechte stukken, met een knik bij ca 24 km/u. Is dat het punt waar de luchtweerstand opeens een grote rol gaat spelen? In ieder geval lijken de waarden aardig overeen te komen met de berekeningen met het model van Kreuzotter.
Het enige dat nu nog ontbreekt is het verlies dat optreedt bij de aandrijving: ketting, kettingbuizen, tandwielen etc. Helaas weet ik geen eenvoudige methode om dat te meten. Deze verliezen zijn meestal erg klein ten opzichte van de rol- en luchtweerstand. En een live vermogensmeting is ook wel prettig, die meet ook de effecten van slappe banden, tegenwind, stijging, ongesmeerde ketting etc, etc.
Ongetwijfeld hebben andere mensen vergelijkbare testen gedaan en hier ook al over gepubliceerd. Ik leer graag van hun ervaringen, dus kom maar op met de opmerkingen of links naar interessante sites.